Quadratische Binome
Teil des Abschnitts Quadratische Funktionen und komplexe Zahlen der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 6 von 51.
Quadriert man eine Klammer, zeigt sich ein Muster: (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25. Die mittlere Zahl, 10, ist das Doppelte von 5, und die letzte Zahl, 25, ist 5 zum Quadrat. Jedes Quadrat von x + p ergibt x^2 + 2px + p^2.
Ein dreigliedriger Ausdruck dieser Form ist ein vollständiges quadratisches Trinom, und du kannst das Muster rückwärts anwenden. Bei x^2 + 6x + 9 ist die Hälfte von 6 gleich 3, und 3 zum Quadrat ist 9, also ist der Ausdruck (x + 3)^2. Ein Minuszeichen in der Mitte ergibt ein Minuszeichen in der Klammer: x^2 - 8x + 16 ist (x - 4)^2, denn -4 mal -4 ist +16.
Der Test ist einfach: Halbiere die mittlere Zahl, quadriere sie und vergleiche sie mit der letzten Zahl. x^2 + 6x + 8 besteht den Test nicht, denn die Hälfte von 6 zum Quadrat ist 9, nicht 8. Bei reellen Zahlen ist die letzte Zahl eines perfekten Quadrats niemals negativ.
Aufgabe
Schreibe x^2 - 14x + 49 als Quadrat einer Klammer. Führe zuerst den Test durch: Halbiere die mittlere Zahl und quadriere sie. Gib dann das Quadrat als nächste Zeile ein.
Probier es selbst
Faktorisiere den Ausdruck
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Alle Lektionen in Quadratische Funktionen und komplexe Zahlen
1Der Scheitelpunkt
Die SymmetrieachseDer ScheitelpunktMaximum oder MinimumZeichnen aus der NormalformWiederholung: Der Scheitelpunkt4Imaginäre Zahlen
Lerne i kennenWurzeln aus negativen ZahlenKeine QuadratzahlPotenzen von iRückblick: Imaginäre Zahlen2Quadratische Ergänzung
Quadratische BinomeDie fehlende ZahlQuadratische ErgänzungIrrationale LösungenWenn a nicht 1 istRückblick: Quadratische Ergänzung5Komplexe Arithmetik
Addieren und SubtrahierenMultiplizierenDie konjugiert komplexe ZahlDividierenEin rein imaginärer NennerRückblick: Komplexe Arithmetik8Geraden und Parabeln schneiden sich
Zwei SchnittpunkteNur BerührungKein SchnittpunktEin Kreis und eine GeradeWiederholung: Geraden und Parabeln3Scheitelpunktform durch Algebra
Von der Normalform zur ScheitelpunktformUngerade MittelgliederEin LeitkoeffizientNach unten geöffnetRückblick: Scheitelpunktform