Potenzen von i

Multipliziere i immer wieder mit sich selbst. ${i}^{1} = i$ und ${i}^{2} = -1$. Dann ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$ und ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, was -1 mal -1 ergibt, also 1. Mit einem weiteren Faktor beginnt der Zyklus von vorn: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. Die Potenzen durchlaufen endlos immer wieder dieselben vier Werte: i, -1, -i, 1.

Bei einer großen Potenz teilst du also den Exponenten durch 4 und behältst den Rest. Für ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$, also ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, was 1 mal -i ergibt, also -i. Ein Rest von 1 ergibt i, ein Rest von 2 ergibt -1, ein Rest von 3 ergibt -i und ein Rest von 0 ergibt 1.

Warum 4? Weil ${i}^{4} = 1$ und die Multiplikation mit 1 nichts verändert, fällt jede Gruppe von vier i weg. Deshalb gilt ${i}^{40} = 1$: 40 ist das 4-Fache von 10, und es bleibt kein i übrig.