Die konjugiert komplexe Zahl

Die komplex Konjugierte von $a+bi$ ist $a-bi$: derselbe Realteil, wobei das Vorzeichen des Imaginärteils umgekehrt wird. Die komplex Konjugierte von $2+7i$ ist $2-7i$, und die komplex Konjugierte von $6-i$ ist $6+i$.

Multipliziere eine Zahl mit ihrer komplex Konjugierten: $\left(2+7i\right)\left(2-7i\right) = 4-14i+14i-49{i}^{2}$. Die beiden i-Terme sind Gegenzahlen und heben sich auf, und $-49{i}^{2}$ ist +49. Das Ergebnis ist 4 + 49, also 53, eine reelle Zahl.

Für reelle a und b gilt immer: $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) = {a}^{2}+{b}^{2}$. Vergleiche $\left(a+b\right)\left(a-b\right) = {a}^{2}-{b}^{2}$ aus der Algebra: Das Minus wird zum Plus, weil ${i}^{2} = -1$. Das ist das Werkzeug für die nächste Lektion, denn die Multiplikation mit der konjugierten Zahl macht aus einer komplexen Zahl eine reelle Zahl.