Preis und Umsatz

Ein Saftstand verkauft täglich $120-10p$ Becher, wenn ein Becher p Dollar kostet. Der Umsatz ist das eingenommene Geld: der Preis mal die verkaufte Anzahl. Also $R\left(p\right) = p\left(120-10p\right)$.

Den Preis zu erhöhen ist ein Abwägen. Mit jedem Becher verdienst du mehr, aber es werden weniger Becher verkauft. Verlangst du nichts, verdienst du nichts. Verlangst du 12 Dollar, verkaufst du keinen einzigen. Das sind die Nullstellen von R: p = 0 und p = 12.

Ausmultipliziert ist $R\left(p\right) = -10{p}^{2}+120p$ eine nach unten geöffnete Parabel, daher ist der beste Preis ihr Scheitelpunkt, der genau zwischen den Nullstellen liegt: 6 Dollar. Dann gilt $R\left(6\right) = 6\left(60\right)$, also 360 Dollar pro Tag.