Quadratische Ergänzung

Ein Quadrat lässt sich leicht rückgängig machen. Wenn (x + 2)^2 = 16, dann ist x + 2 gleich 4 oder -4, also ist x gleich 2 oder -6. Durch quadratische Ergänzung wird jede quadratische Gleichung in diese Form gebracht, sodass eine Quadratwurzel den Rest erledigt.

Betrachte x^2 + 4x - 12 = 0. Bringe die Zahl auf die andere Seite: x^2 + 4x = 12. Auf der linken Seite fehlt eine Zahl, um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, und die fehlende Zahl ist (b/2)^2, also 4. Addiere 4 auf beiden Seiten, damit die Gleichung weiterhin stimmt: x^2 + 4x + 4 = 16. Jetzt ist die linke Seite (x + 2)^2, also (x + 2)^2 = 16.

Ziehe von dort auf beiden Seiten die Quadratwurzel mit beiden Vorzeichen, wie im ersten Absatz. Beide Vorzeichen zu berücksichtigen ist wichtig, weil ein Quadrat das Vorzeichen des quadrierten Ausdrucks verbirgt.