Die Formel wird komplex

Wenn ${b}^{2}-4ac$ negativ ist, steht unter der Wurzel in der quadratischen Formel eine negative Zahl. In der Algebra bedeutete das, dass es keine reelle Lösung gab; jetzt bedeutet es, dass es zwei komplexe Lösungen gibt. Betrachte ${x}^{2}-6x+34 = 0$: a ist 1, b ist -6, c ist 34 und ${b}^{2}-4ac$ ist $36-136$, also -100.

Also ist $x = \frac{6\pm\sqrt{-100}}{2}$, und $\sqrt{-100}$ ist 10i, sodass $x = \frac{6\pm10i}{2}$ gilt. Teile beide Terme im Zähler durch 2: $x = 3\pm5i$. Teile das ± auf: $x = 3+5i$ oder $x = 3-5i$.

Wenn a, b und c reell sind, treten die beiden immer als konjugiertes Paar auf: Der Realteil, b geteilt durch 2a mit umgekehrtem Vorzeichen, ist beiden gemeinsam, und das ± steht nur vor dem i-Term.