偽の解

二乗すると、異なる2つの数が同じように見えることがあります。-3と3は等しくありませんが、どちらを二乗しても9になります。そのため、二乗によって偽の方程式が真になることがあり、二乗した方程式には元の方程式にはない解が含まれる場合があります。

$\sqrt{x+6} = x$を考えてみましょう。二乗すると$x+6 = {x}^{2}$となるので、${x}^{2}-x-6 = 0$となり、これは$\left(x-3\right)\left(x+2\right) = 0$と因数分解できます。候補は3と-2です。それぞれを元の方程式に代入して確かめます。3の場合、$\sqrt{9}$は3で、右辺も3です。真です。-2の場合、$\sqrt{4}$は2ですが、右辺は-2です。偽です。したがって-2は除外され、解は3だけです。

途中の計算で得られても、元の方程式では成り立たない候補は偽解（教科書では「余分な解」と呼ばれます）です。これは代数計算のミスではありません。二乗したことで紛れ込んだのです。そのため、候補は必ず元の方程式で確認します。二乗した方程式では、どちらの候補も成り立ってしまうので、確認してはいけません。