3分の2乗

${x}^{\frac{2}{3}}$では指数の分子は偶数です。${x}^{\frac{2}{3}}$は${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$、つまりxの立方根を2乗したものです。2乗すると符号が隠れるため、このべき乗の値が同じになる数が2つある場合があります。${x}^{\frac{2}{3}} = 9$を考えてみましょう。27の立方根は3で、3の2乗は9なので、27は解です。-27の立方根は-3で、${\left(-3\right)}^{2}$も9なので、-27も解です。

これを解くには、両辺を3/2乗します。右辺は27になります。これは、上で見たように、2/3乗すると9になる正の数です。左辺はxにはなりません。2/3乗ではxの符号が消えており、3/2乗で平方根を取っても、符号を元に戻すことはできないからです。したがって、左辺は$\left|x\right|$になります。

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ は x = 27 または x = -27 を意味します。これは、${x}^{2} = 9$ から 3 と -3 が得られるのと同じです。

同じ図から、簡単なテストが2つできます。分母の 3 は奇数なので、立方根はどんな数にも適用でき、どちらの解も除外する必要はありません。分子の 2 は偶数なので、べき乗の値が負になることはありません。したがって、${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ に実数解はありません。