分母に根号が1つ

$\frac{6}{\sqrt{3}}$を見てみましょう。これはまったく問題のない数ですが、値を見積もるには、6を1.732で手計算で割らなければなりません。そこで、分数の分母に根号を残さないという約束があります。分母に根号がない形に分数を書き換えることを分母の有理化といいます。分母が有理数になるからです。

使うのは前の章で学んだ事実です。根号の数をそれ自身に掛けると、根号の中の数になります。つまり、$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = 3$です。分子と分母に$\sqrt{3}$を掛けます。これは$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$、つまり1を掛けているので、値は変わりません。

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$$

ここで3を6から約分すると、答えは $2\sqrt{3}$ です。なぜそうするのでしょうか？分母が整数のほうが扱いやすいからです。$\frac{\sqrt{2}}{2}$ は1.414の半分なので、暗算できます。一方、$\frac{1}{\sqrt{2}}$ は同じ数ですが、1.414で割る必要があります。表記を統一すれば、答えを比較しやすくなります。$\frac{5}{\sqrt{5}}$ と $\sqrt{5}$ は見た目が異なりますが、有理化すると等しいことがわかります。