n分の1

これまで、指数は整数でした。${49}^{\frac{1}{2}}$に意味を与えるには、指数を掛け合わせる累乗の累乗の規則を使います。${\left({49}^{\frac{1}{2}}\right)}^{2} = {49}^{1}$。したがって、${49}^{\frac{1}{2}}$は2乗すると49になる数で、根号と同じく、負でない方を表します。つまり、$\sqrt{49}$で、これは7です。

同じことは任意のnについて成り立ちます。${a}^{\frac{1}{n}}$はaのn乗根、つまりn乗するとaになる数です。nが偶数の場合、aは負であってはならず、根は負でない方です。1/3乗は立方根です。${125}^{\frac{1}{3}} = cbrt\left(125\right) = 5$となるのは、${5}^{3} = 125$だからです。1/4乗は4乗根です。${10000}^{\frac{1}{4}} = 10$となるのは、${10}^{4} = 10000$だからです。

そもそも、なぜ根を累乗として表すのでしょうか？そうすれば、すでに知っている指数法則が根にも使え、この章の残りの部分でもまさにその考え方を使うからです。分数の分母が根の指数です。平方根なら2、立方根なら3です。