平方の逆演算

規則 $f\left(x\right) = {x}^{2}$ は、そのままでは逆関数を持ちません。2 と -2 のどちらを代入しても 4 になるため、4 について逆関数を求めると、答えが2つ必要になります。解決策は、入力を $x \ge 0$ に制限して、f の定義域を制限することです。そうすると、それぞれの出力はただ1つの入力から得られます。

$f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ を $x \ge 0$ の場合について考えます。通常どおり x と y を入れ替えると、$x = {y}^{2}-3$ となります。y について解くには、-3 を移項して $x+3 = {y}^{2}$ とし、両辺の平方根を取ると、$y = \sqrt{x+3}$ と $y = -\sqrt{x+3}$ の2つの答えが得られます。

制限によって一方が選ばれます。逆関数の出力は f の入力であり、それらは 0 以上です。負の平方根は負の出力を与えるので、次のようになります： ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$。確認してみましょう。f(2) は 1 で、逆関数は 1 を $\sqrt{4}$ に写し、それは 2 です。定義域を制限すると、二乗関数の逆関数は平方根になります。