平方の逆演算

規則 f(x) = x^2 は、そのままでは逆関数を持ちません。2 と -2 のどちらを代入しても 4 になるため、4 について逆関数を求めると、答えが2つ必要になります。解決策は、入力を x >= 0 に制限して、f の定義域を制限することです。そうすると、それぞれの出力はただ1つの入力から得られます。

f(x) = x^2 - 3 を x >= 0 の場合について考えます。通常どおり x と y を入れ替えると、x = y^2 - 3 となります。y について解くには、-3 を移項して x + 3 = y^2 とし、両辺の平方根を取ると、y = √(x + 3) と y = -√(x + 3) の2つの答えが得られます。

制限によって一方が選ばれます。逆関数の出力は f の入力であり、それらは 0 以上です。負の平方根は負の出力を与えるので、次のようになります： f^-1(x) = √(x + 3)。確認してみましょう。f(2) は 1 で、逆関数は 1 を √(4) に写し、それは 2 です。定義域を制限すると、二乗関数の逆関数は平方根になります。