Pierwiastek podwójny

Gdy wyróżnik jest równy zero, równanie ma jedno rozwiązanie. Rozważmy $x^{2}-4x+4 = 0$. Lewa strona jest trójmianem będącym kwadratem, więc można zapisać ją w postaci $\left(x-2\right)^{2} = 0$. Kwadrat jest równy zero tylko wtedy, gdy liczba podnoszona do kwadratu jest równa zero, zatem $x-2 = 0$ i $x = 2$. Jest jedno rozwiązanie.

Lewą stronę można również rozłożyć na czynniki: $\left(x-2\right)\left(x-2\right) = 0$. Oba czynniki prowadzą do tego samego równania, $x-2 = 0$, więc dają to samo rozwiązanie. Rozwiązanie wynikające z dwóch równych czynników nazywa się pierwiastkiem podwójnym. Pierwiastkiem podwójnym tego równania jest 2.

Wyróżnik równania $x^{2}-4x+4 = 0$ również wynosi zero. Tutaj $b^{2}$ wynosi 16, a $4ac$ wynosi 16, więc wyróżnik to $16-16 = 0$. Ponieważ wynosi zero, dodawanie i odejmowanie w równaniu kwadratowym dają tę samą wartość, $x = 2$. Wzór, rozkład na czynniki i postać kwadratowa są zgodne co do tego, że równanie ma jedno rozwiązanie.