Zawsze działa

Równania kwadratowego x^2 + 3x + 1 = 0 nie można rozłożyć na czynniki całkowite. Żadna para liczb całkowitych nie ma iloczynu równego 1 i sumy równej 3. Wzór kwadratowy nadal działa. Daje x = (-3 ± √5) / 2.

Wyróżnik wynosi 5, czyli nie jest kwadratem liczby całkowitej. Dlatego pierwiastek kwadratowy pozostaje w postaci √5, tak jak w rozdziale o pierwiastkach kwadratowych. Dwa rozwiązania są dokładnymi liczbami, a wzór pozwolił je znaleźć, mimo że nie dało się rozłożyć równania na czynniki.

Wzór kwadratowy działa nawet wtedy, gdy trójmianu kwadratowego nie da się rozłożyć na czynniki z całkowitymi współczynnikami. Gdy współczynniki są liczbami całkowitymi, wyróżnik będący kwadratem liczby całkowitej daje rozwiązania będące liczbami całkowitymi lub ułamkami. Dodatni wyróżnik, który nie jest kwadratem liczby całkowitej, daje rozwiązania z pierwiastkiem kwadratowym. Uzupełnianie do kwadratu to kolejny sposób na znalezienie tych samych rozwiązań.