Zawsze działa

Równania kwadratowego $x^{2}+3x+1 = 0$ nie można rozłożyć na czynniki całkowite. Żadna para liczb całkowitych nie ma iloczynu równego 1 i sumy równej 3. Wzór kwadratowy nadal działa. Daje $x = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

Wyróżnik wynosi 5, czyli nie jest kwadratem liczby całkowitej. Dlatego pierwiastek kwadratowy pozostaje w postaci $\sqrt{5}$, tak jak w rozdziale o pierwiastkach kwadratowych. Dwa rozwiązania są dokładnymi liczbami, a wzór pozwolił je znaleźć, mimo że nie dało się rozłożyć równania na czynniki.

Wzór kwadratowy działa nawet wtedy, gdy trójmianu kwadratowego nie da się rozłożyć na czynniki z całkowitymi współczynnikami. Gdy współczynniki są liczbami całkowitymi, wyróżnik będący kwadratem liczby całkowitej daje rozwiązania będące liczbami całkowitymi lub ułamkami. Dodatni wyróżnik, który nie jest kwadratem liczby całkowitej, daje rozwiązania z pierwiastkiem kwadratowym. Uzupełnianie do kwadratu to kolejny sposób na znalezienie tych samych rozwiązań.