Обратное преобразование

Правило преобразования переводит одну единицу измерения в другую, а обратное правило переводит её обратно. В США размер мужской обуви примерно равен утроенной длине стопы в дюймах минус 22: $f\left(x\right) = 3x-22$. Для стопы длиной 10 дюймов подходит размер 8. Чтобы перейти от размера обратно к длине, нужна функция ${f}^{-1}\left(x\right)$.

Метод такой же, как в главе об обратных функциях. Запишем правило в виде $y = 3x-22$, поменяем местами x и y, а затем решим уравнение относительно y. После перестановки получим $x = 3y-22$. Прибавим 22 и получим $x+22 = 3y$, затем разделим на 3: $y = \frac{x+22}{3}$. Проверка: для размера 8 получаем 30, делённое на 3, то есть 10 дюймов — длину, с которой мы начали.

Зачем менять местами? В обратной функции старый результат становится входным значением, а мы сохраняем букву x для входного значения. Если правило умножает на дробь, раздели на эту дробь, что равносильно умножению на перевёрнутую дробь: $x-4 = \frac{2}{3}y$ даёт $y = \frac{3}{2}\left(x-4\right)$.