Скорость как скорость изменения

Подбрось мяч вертикально вверх. Его высота в метрах через t секунд равна $h\left(t\right) = 30t-5{t}^{2}$. Через 1 секунду он находится на высоте 25 метров, а через 2 секунды — на высоте 40 метров. За эту секунду его высота увеличилась на 15 метров, значит, его средняя скорость составляла 15 метров в секунду.

Средняя скорость — это средняя скорость изменения высоты: изменение высоты, делённое на изменение времени, $\frac{h\left(2\right)-h\left(1\right)}{2-1}$. Метры в числителе и секунды в знаменателе дают метры в секунду. Знак указывает направление. С момента t = 4 до t = 5 высота снижается с 40 до 25, поэтому средняя скорость равна -15 метрам в секунду: отрицательное значение означает, что в конце мяч оказался ниже.

Скорость с учётом направления — это не то же самое, что быстрота. С t = 2 до t = 4 высота меняется с 40 до 40, поэтому средняя скорость с учётом направления равна 0, но мяч не оставался на месте: он поднялся до 45 метров при t = 3 и упал обратно. За 2 секунды он преодолел 10 метров, то есть его средняя быстрота составила 5 метров в секунду. Скорость с учётом направления учитывает только начальное и конечное положения мяча; быстрота учитывает каждый пройденный метр и никогда не бывает отрицательной.