Una risposta errata

Risolvi $\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$. Unisci i termini a sinistra in $\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$, uguaglia gli argomenti e ottieni ${x}^{2}+4x-5 = 0$, che si scompone in $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$. I candidati sono 1 e -5.

Prova -5 nell’equazione ottenuta e sembra andare bene: $x\left(x+4\right)$ è -5 per -1, cioè 5. Provalo nell’equazione originale e non funziona subito, perché $\ln\left(-5\right)$ non è definito. Quindi -5 è una soluzione falsa, detta anche estranea, e rimane solo x = 1.

Da dove viene? L'espressione originale richiede che ogni input sia positivo: x e $x+4$ devono essere entrambi maggiori di 0. Il logaritmo unito richiede solo che il loro prodotto sia positivo, e anche due numeri negativi danno un risultato positivo. Unire i logaritmi ha allentato la regola, quindi l'equazione quadratica ha accettato una risposta che l'espressione originale non ammetteva mai. Ecco perché la verifica torna sempre all'equazione originale, mai a una riga che hai ottenuto.