La regola della potenza

Considera $\log_{2}\left(8^{2}\right)$. Poiché $8 = {2}^{3}$, la potenza è ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$, che equivale a ${2}^{6}$: una potenza di una potenza moltiplica gli esponenti. Quindi il logaritmo è 6, cioè 2 volte 3, l’esponente moltiplicato per il logaritmo di 8. Questa è la regola della potenza:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Vale per M positivo, e l’esponente scende davanti al logaritmo. Il motivo: se M è b elevato alla p, allora M elevato alla k è b elevato alla kp. Puoi anche vederlo come la regola del prodotto ripetuta: $\log_{b}\left(M^{3}\right)$ è il logaritmo di M per M per M, cioè tre logaritmi di M sommati.

Con una lettera, fai attenzione al segno. Per x > 0, $\log_{3}\left(x^{4}\right)$ diventa $4\log_{3}\left(x\right)$. Per x = -1 il lato sinistro è $\log_{3}\left(1\right)$, che è 0, ma $\log_{3}\left(-1\right)$ non ha valore, quindi la regola richiede che x sia positivo. La regola vale in ogni base, inclusa la base 10.