La regola della potenza

Considera log_2(8^2). Poiché 8 = 2^3, la potenza è (2^3)^2, che equivale a 2^6: una potenza di una potenza moltiplica gli esponenti. Quindi il logaritmo è 6, cioè 2 volte 3, l’esponente moltiplicato per il logaritmo di 8. Questa è la regola della potenza:

log_b(M^k) = k log_b(M)

Vale per M positivo, e l’esponente scende davanti al logaritmo. Il motivo: se M è b elevato alla p, allora M elevato alla k è b elevato alla kp. Puoi anche vederlo come la regola del prodotto ripetuta: log_b(M^3) è il logaritmo di M per M per M, cioè tre logaritmi di M sommati.

Con una lettera, fai attenzione al segno. Per x > 0, log_3(x^4) diventa 4log_3(x). Per x = -1 il lato sinistro è log_3(1), che è 0, ma log_3(-1) non ha valore, quindi la regola richiede che x sia positivo. La regola vale in ogni base, inclusa la base 10.