La regola del quoziente

Considera $\log_{2}\left(\frac{64}{4}\right)$. Poiché $64 = {2}^{6}$ e $4 = {2}^{2}$, il quoziente è ${2}^{4}$: quando si dividono le potenze, gli esponenti si sottraggono. Quindi il logaritmo è 4, cioè 6 meno 2, il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore. Questa è la regola del quoziente:

$$\log_{b}\left(\frac{M}{N}\right) = \log_{b}\left(M\right)-\log_{b}\left(N\right)$$

Vale per M e N positivi, e il motivo è lo stesso della regola del prodotto. Se M è b elevato alla p e N è b elevato alla q, allora M diviso N è b elevato alla p meno q. L’ordine è importante: il logaritmo del numeratore viene per primo, quello del denominatore viene sottratto.

Con una lettera positiva al numeratore: $\log_{2}\left(\frac{x}{16}\right)$ diventa $\log_{2}\left(x\right)-\log_{2}\left(16\right)$, e $\log_{2}\left(16\right)$ è 4, quindi si ottiene $\log_{2}\left(x\right)-4$. Non dividere i logaritmi: il logaritmo di un quoziente è una differenza di logaritmi, non un quoziente di logaritmi.