Somme geometriche

Somma $1+4+16+64$ con un trucco. Chiama la somma S, poi moltiplica ogni termine per il rapporto 4: $4S = 4+16+64+256$. Le due liste hanno in comune 4, 16 e 64, quindi sottraendo S da 4S questi termini si annullano: $4S-S = 256-1$. Quindi $3S = 255$, perciò S è 85.

La stessa sottrazione funziona per qualsiasi successione geometrica e dà la somma dei suoi primi n termini:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

Qui n conta i termini, quindi la potenza è ${r}^{n}$, non ${r}^{n-1}$. Verifica: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ è -255 diviso -3, cioè 85. La formula non è valida solo quando r è 1, perché il denominatore è 0; in tal caso ogni termine è uguale e la somma è n volte il primo.