Somme infinite

Taglia una torta a metà, poi taglia a metà quella che resta e continua così. I pezzi sono 1/2, 1/4, 1/8, ... della torta e non possono mai sommarsi fino a superare la torta intera. Una somma che continua all’infinito può avere un risultato finito.

Osserva la formula della somma $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. Quando r è compreso tra -1 e 1, ${r}^{n}$ si avvicina a 0 man mano che n cresce: ${\frac{1}{2}}^{10}$ è già meno di un millesimo. Quindi, per una somma che non finisce mai, ${r}^{n}$ scompare e

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

Per $10+5+\frac{5}{2}+...$, il rapporto è 1/2, quindi $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$, che è 20. Se r è 1 o maggiore, oppure -1 o minore, i termini non si riducono mai e la somma non ha un valore finito.