La regola del prodotto

Considera $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Poiché $9 = {3}^{2}$ e $27 = {3}^{3}$, il prodotto è ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, che è ${3}^{5}$: gli esponenti si sommano quando si moltiplicano le potenze. Quindi il logaritmo è 5, cioè 2 più 3, il logaritmo di 9 più il logaritmo di 27. Questa è la regola del prodotto:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Vale per qualsiasi M e N positivi, per lo stesso motivo. I logaritmi sono esponenti: se M è b elevato alla p e N è b elevato alla q, allora MN è b elevato a $p+q$. Quindi il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi.

La regola è più utile quando uno dei fattori è una lettera. Per x positivo, $\log_{3}\left(9x\right)$ diventa $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, e $\log_{3}\left(9\right)$ è 2, quindi si ottiene $2+\log_{3}\left(x\right)$.