Iloczyn logarytmów

Weźmy $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Ponieważ $9 = {3}^{2}$ i $27 = {3}^{3}$, iloczyn wynosi ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, czyli ${3}^{5}$: wykładniki dodaje się podczas mnożenia potęg. Zatem logarytm wynosi 5, czyli 2 plus 3 — logarytm z 9 plus logarytm z 27. To reguła iloczynu:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Jest to prawdziwe dla dowolnych dodatnich M i N z tego samego powodu. Logarytmy to wykładniki: jeśli M jest równe b do potęgi p, a N jest równe b do potęgi q, to MN jest równe b do potęgi $p+q$. Zatem logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.

Ta reguła jest najbardziej przydatna, gdy jeden z czynników jest literą. Dla dodatniego x wyrażenie $\log_{3}\left(9x\right)$ przyjmuje postać $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, a $\log_{3}\left(9\right)$ wynosi 2, więc otrzymujemy $2+\log_{3}\left(x\right)$.