Siempre funciona

La ecuación cuadrática $x^{2}+3x+1 = 0$ no se puede factorizar con números enteros. Ningún par de números enteros tiene como producto 1 y como suma 3. La fórmula cuadrática sigue funcionando. Da $x = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

El discriminante es 5, que no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, la raíz cuadrada permanece como $\sqrt{5}$, como en el capítulo sobre raíces cuadradas. Las dos soluciones son números exactos, y la fórmula las encontró aunque no se pudo factorizar.

La fórmula cuadrática funciona incluso cuando una ecuación cuadrática no se puede factorizar con números enteros. Cuando los coeficientes son números enteros, un discriminante que es un cuadrado perfecto da soluciones que son números enteros o fracciones. Un discriminante positivo que no es un cuadrado perfecto da soluciones con un signo de raíz cuadrada. Completar el cuadrado es otra forma de encontrar las mismas soluciones.