Когда прямые не пересекаются

Две прямые не всегда пересекаются. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент и разные свободные члены, поэтому у них нет общих точек. Система из двух параллельных прямых не имеет решений. Например, $x+y = 3$ и $x+y = 7$ не могут быть одновременно истинными. Не существует пары чисел, сумма которых одновременно равна 3 и 7. Алгебра также это показывает. Если вычесть первое уравнение из второго, получится $0 = 4$, что неверно.

Эквивалентные уравнения описывают одну и ту же прямую. Например, $4x+2y = 10$ — это удвоенное $2x+y = 5$, поэтому каждая точка на этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям. Система имеет бесконечно много решений. Две различные пересекающиеся прямые имеют одно решение, а две различные параллельные прямые не имеют решений.