最终：大整理

要化简两个乘积的和，先分别展开每个乘积。两个二项式的乘积会得到四项。然后把两次展开中的同类项合并起来。

对于 $\left(x+1\right)\left(x+2\right)+\left(x+3\right)\left(x+4\right)$：第一个乘积展开后是 $x^{2}+3x+2$，第二个展开后是 $x^{2}+7x+12$。将它们相加并合并同类项，得到 $2x^{2}+10x+14$。