مربعات الأضلاع

في المثلث القائم، يُسمّى الضلع المقابل للزاوية القائمة الوتر، وهو أطول ضلع. أما الضلعان الآخران فهما الساقان. أنشئ مربعًا على كل ضلع: مساحة المربعين على الساقين معًا تساوي تمامًا مساحة المربع على الوتر.

${a}^{2}+{b}^{2} = {c}^{2}$

هذه هي نظرية فيثاغورس، ويمثل a وb ضلعي القائمة، بينما يمثل c الوتر. لماذا تصح: ضع أربع نسخ من المثلث داخل مربع كبير طول ضلعه a + b، نسخة في كل زاوية. والمساحة المتبقية في الوسط مربع ضلعه c. والآن أزح المثلثات معًا في أزواج، لتكوّن مستطيلين في زاويتين متقابلتين: فتكون المساحة المتبقية مربعًا ضلعه a ومربعًا ضلعه b. المربع الكبير نفسه، والمثلثات الأربعة نفسها، لذا فالمساحتان المتبقيتان متساويتان.

تنطبق هذه النظرية على المثلثات القائمة فقط. أما من دون الزاوية القائمة، فسيكون مجموع مربعي الضلعين الأقصر أكبر من مربع الضلع الثالث أو أصغر منه.