Inversa de un cuadrado

Parte de la sección Radicales y exponentes racionales del Journey de Algebra 2 de Coddy. Lección 34 de 40.

La regla $f\left(x\right) = {x}^{2}$ no tiene inversa tal como está. Tanto 2 como -2 dan 4, así que una inversa aplicada a 4 necesitaría dos respuestas. La solución es restringir f a las entradas $x \ge 0$ . Entonces cada salida proviene de una sola entrada.

Tomemos $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ para $x \ge 0$ . Intercambiamos x e y como de costumbre: $x = {y}^{2}-3$ . Despejamos y: al pasar el -3 al otro lado obtenemos $x+3 = {y}^{2}$ , y al sacar la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos dos respuestas, $y = \sqrt{x+3}$ y $y = -\sqrt{x+3}$ .

La restricción elige una. Las salidas de la inversa son las entradas de f, y esas son al menos 0. La raíz negativa da salidas negativas, así que queda: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Compruébalo: f(2) es 1, y la inversa envía 1 a $\sqrt{4}$ , que es 2. En un dominio restringido, la inversa de un cuadrado es una raíz cuadrada.

Desafío

Encuentra la inversa de $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ para $x \ge 0$ . El tablero muestra la ecuación intercambiada $x = {y}^{2}+1$ . Escribe tú las líneas: primero deja solo el cuadrado y después y. Como f solo acepta entradas $x \ge 0$ , su inversa solo da salidas de al menos 0, así que conserva únicamente la raíz positiva.