Potencia de dos tercios

En ${x}^{\frac{2}{3}}$ la parte superior del exponente es par: ${x}^{\frac{2}{3}}$ es ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$, la raíz cúbica de x, elevada al cuadrado. Un cuadrado oculta un signo, así que dos números pueden compartir esta potencia. Considera ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$. La raíz cúbica de 27 es 3, y 3 al cuadrado es 9, así que 27 sirve. La raíz cúbica de -27 es -3, y ${\left(-3\right)}^{2}$ también es 9, así que -27 también sirve.

Para resolverla, eleva ambos lados a la potencia 3/2. El lado derecho se convierte en 27, el número positivo cuya potencia 2/3 es 9, como vimos antes. El lado izquierdo no se convierte en x: la potencia 2/3 eliminó el signo de x al elevarlo al cuadrado, y la potencia 3/2 calcula una raíz cuadrada, que no puede recuperar el signo. Así que el lado izquierdo se convierte en $\left|x\right|$:

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ significa que x = 27 o x = -27, del mismo modo que ${x}^{2} = 9$ da 3 y -3.

Dos pruebas rápidas se desprenden de la misma imagen. El denominador, 3, es impar, así que la raíz cúbica acepta cualquier número y no hay que descartar ninguna de las dos respuestas. El numerador, 2, es par, así que la potencia nunca es negativa: ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ no tiene ninguna respuesta real.