いつでも使える

これが公式の本当の力です。x^2 + 3x + 1 = 0：整数の範囲ではそのような組は存在しないため、機械は組を見つけられません。公式はそんなことを気にしません。x = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * 1)) / 2 = (-3 ± √5) / 2。

判別式の 5 は完全平方数ではないため、平方根の章で扱ったとおり、解は根号 √5 のままです。2つの解は正確な無理数であり、公式は何の問題もなくそれらを書き出しました。

これが役割分担です。因数分解はうまくいけば速く、公式は常に使えます。判別式が完全平方数なら因数分解できたでしょう。そうでなければ、公式だけが道であり、答えに含まれる根号がその証明です。