完全平方

$x^{2}+6x+9$を因数分解するには、積が9で和が6になる組が必要です。その組は3と3です。2つの因数は同じなので、$\left(x+3\right)\left(x+3\right) = \left(x+3\right)^{2}$となります。このように平方に因数分解できる三項式を完全平方三項式と呼びます。

モニックな三項式には、簡単な判定方法があります。中央の係数を半分にして、それを2乗します。その結果が定数項と等しければ、その三項式は完全平方です。ここでは6の半分は3で、$3^{2} = 9$なので、$x^{2}+6x+9 = \left(x+3\right)^{2}$となります。

前のセクションでは、$\left(a+b\right)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$を展開しました。完全平方三項式の因数分解では、同じ規則を逆向きに使います。中央の項は$2ab$なので、その半分は$ab$です。定数項は$b^{2}$です。次のパターンを探してください：平方、積の2倍、平方。このパターンが見つかったら、その三項式は$\left(a+b\right)^{2}$です。