文字で表す機械

因数分解の規則は文字を使って書くことができます。恒等式 $x^{2}+\left(p+q\right)x+pq = \left(x+p\right)\left(x+q\right)$ は、任意の数 $p$ と $q$ に対して成り立ちます。$x$ の係数はそれらの和であり、定数項はそれらの積です。

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)$ を展開すると、$x^{2}+\left(p+q\right)x+pq$ になります。因数分解では、同じ恒等式を逆方向に使います。和を積に戻します。

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)$を展開すると、$x^{2}+px+qx+pq$が得られます。2つの$x$の項をまとめると、$x^{2}+\left(p+q\right)x+pq$が得られます。これにより、2つの数の和が中央の係数になり、積が定数項にならなければならない理由がわかります。