Semplificazione dei fattori

Un’espressione razionale è una frazione con polinomi al numeratore e al denominatore, come $\frac{{x}^{2}-25}{{x}^{2}+3x-10}$. La semplifichi come semplifichi $\frac{6}{9}$: trova un fattore comune al numeratore e al denominatore ed eliminalo. Scomponi prima entrambi. Il numeratore è una differenza di quadrati, $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$, e per il denominatore servono due numeri il cui prodotto sia -10 e la cui somma sia 3, quindi è $\left(x+5\right)\left(x-2\right)$.

$$\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$$

x + 5 compare in entrambi, e $\frac{x+5}{x+5}$ è 1 ovunque x + 5 non sia 0, quindi si semplifica e lascia $\frac{x-5}{x-2}$. Si semplificano solo i fattori, mai i termini. In $\frac{x+6}{x+3}$ viene spontaneo cancellare le x e ottenere $\frac{6}{3}$, che è 2. Ma per x = 3 la frazione è $\frac{9}{6}$, che è 3/2. La x lì è addizionata, non moltiplicata, quindi non è un fattore dell’intero numeratore né dell’intero denominatore.

Ecco perché prima si scompone in fattori: così si vede cosa moltiplica ogni elemento. Se non ci sono fattori comuni, la frazione è già nella forma più semplice possibile.