Semplificazione dei fattori

Un’espressione razionale è una frazione con polinomi al numeratore e al denominatore, come (x^2 - 25)/(x^2 + 3x - 10). La semplifichi come semplifichi 6/9: trova un fattore comune al numeratore e al denominatore ed eliminalo. Scomponi prima entrambi. Il numeratore è una differenza di quadrati, (x + 5)(x - 5), e per il denominatore servono due numeri il cui prodotto sia -10 e la cui somma sia 3, quindi è (x + 5)(x - 2).

((x + 5)(x - 5))/((x + 5)(x - 2))

x + 5 compare in entrambi, e (x + 5)/(x + 5) è 1 ovunque x + 5 non sia 0, quindi si semplifica e lascia (x - 5)/(x - 2). Si semplificano solo i fattori, mai i termini. In (x + 6)/(x + 3) viene spontaneo cancellare le x e ottenere 6/3, che è 2. Ma per x = 3 la frazione è 9/6, che è 3/2. La x lì è addizionata, non moltiplicata, quindi non è un fattore dell’intero numeratore né dell’intero denominatore.

Ecco perché prima si scompone in fattori: così si vede cosa moltiplica ogni elemento. Se non ci sono fattori comuni, la frazione è già nella forma più semplice possibile.