Al di fuori delle radici

Ora capovolgiamo la domanda. ${x}^{2}-3x-10 \ge 0$ si scompone in fattori come $\left(x-5\right)\left(x+2\right) \ge 0$ e chiede per quali valori il prodotto è positivo o nullo. Un prodotto è positivo quando entrambi i fattori hanno lo stesso segno, quindi i due casi da considerare sono: entrambi i fattori maggiori o uguali a 0, oppure entrambi minori o uguali a 0.

Entrambi maggiori o uguali a 0: $x \ge 5$ e $x \ge -2$. Tutti i numeri da 5 in poi soddisfano entrambe le condizioni, quindi questo caso dà $x \ge 5$. Entrambi minori o uguali a 0: $x \le 5$ e $x \le -2$, da cui si ottiene $x \le -2$. La risposta è composta da due intervalli separati, i numeri esterni alle radici: $x \le -2$ oppure $x \ge 5$.

La parola oppure è importante. Nessun numero è contemporaneamente minore o uguale a -2 e maggiore o uguale a 5, quindi unire le parti con e non descriverebbe nulla. Anche il segno di uguale è importante: a -2 e a 5 il prodotto è 0, cosa che il segno consente, quindi entrambi gli estremi fanno parte della risposta.