Differenza di cubi

${x}^{3}-64$ non ha coppie da raggruppare, ma segue uno schema: ${x}^{3}$ è x elevato al cubo e 64 è 4 elevato al cubo. Ogni differenza di due cubi si scompone nello stesso modo:

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

Con a = x e b = 4, si ottiene ${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$. Sviluppa il prodotto per vedere perché funziona: x moltiplicato per la parentesi lunga dà ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$, mentre -4 moltiplicato per essa dà $-4{x}^{2}-16x-64$. I termini centrali si annullano, lasciando ${x}^{3}-64$.

Il fattore quadratico ${x}^{2}+4x+16$ non ha fattori reali: il suo discriminante, 16 - 64, è negativo, quindi le sue due radici sono complesse. Questo rende 4 l’unica radice reale di ${x}^{3}-64$. Impara i cubi 1, 8, 27, 64 e 125 così potrai individuare lo schema.