Potenze quarte

x^4 - 17x^2 + 16 = 0 sembra un’equazione difficile di quarto grado, ma contiene solo x^4 e x^2, e x^4 è (x^2)^2. Considera x^2 come un’unica incognita e ottieni un’equazione quadratica: l’incognita al quadrato, meno 17 volte l’incognita, più 16. Due numeri il cui prodotto è 16 e la cui somma è -17 sono -1 e -16, quindi si fattorizza come (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.

Ogni parentesi è una differenza di quadrati, quindi il membro sinistro si scompone in quattro fattori: (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). Considerando i vari casi, ottieni quattro soluzioni: 1, -1, 4 e -4. Un’equazione di quarto grado ha al massimo quattro soluzioni, e questa le ha tutte.

Non tutte le parentesi danno soluzioni reali. x^4 - 21x^2 - 100 = 0 si scompone in (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0 e x^2 = -4 non ha soluzioni reali, poiché il quadrato di un numero reale non è mai negativo. Le uniche soluzioni reali sono 5 e -5.