Potenze quarte

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ sembra un’equazione difficile di quarto grado, ma contiene solo ${x}^{4}$ e ${x}^{2}$, e ${x}^{4}$ è ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Considera ${x}^{2}$ come un’unica incognita e ottieni un’equazione quadratica: l’incognita al quadrato, meno 17 volte l’incognita, più 16. Due numeri il cui prodotto è 16 e la cui somma è -17 sono -1 e -16, quindi si fattorizza come $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Ogni parentesi è una differenza di quadrati, quindi il membro sinistro si scompone in quattro fattori: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Considerando i vari casi, ottieni quattro soluzioni: 1, -1, 4 e -4. Un’equazione di quarto grado ha al massimo quattro soluzioni, e questa le ha tutte.

Non tutte le parentesi danno soluzioni reali. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ si scompone in $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$ e ${x}^{2} = -4$ non ha soluzioni reali, poiché il quadrato di un numero reale non è mai negativo. Le uniche soluzioni reali sono 5 e -5.