Raggruppare per risolvere

Quando un polinomio cubico ha quattro termini e nessun fattore comune a tutti, prova a raggrupparli. Considera ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. I primi due termini hanno in comune ${x}^{2}$ e gli ultimi due hanno in comune -9, quindi il lato sinistro è ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Ora x - 3 è un fattore comune: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. La parentesi ${x}^{2}-9$ è una differenza di quadrati, quindi l'intera equazione è $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

La suddivisione in casi dà 3, poi -3, poi ancora 3. Il fattore x - 3 compare due volte, quindi 3 è una radice multipla. Nella risposta si conta una sola volta: le soluzioni sono 3 e -3. Una risposta è un insieme di numeri e un insieme contiene ogni numero una sola volta, indipendentemente da quanti fattori vi rimandino. In un grafico, una radice ripetuta un numero pari di volte, come 3 in questo caso, è il punto in cui la curva tocca l’asse x e torna indietro. Una radice ripetuta un numero dispari di volte attraversa l’asse: ${\left(x-1\right)}^{3}$ lo attraversa in 1.