Raggruppare per risolvere

Quando un polinomio cubico ha quattro termini e nessun fattore comune a tutti, prova a raggrupparli. Considera x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. I primi due termini hanno in comune x^2 e gli ultimi due hanno in comune -9, quindi il lato sinistro è x^2(x - 3) - 9(x - 3). Ora x - 3 è un fattore comune: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. La parentesi x^2 - 9 è una differenza di quadrati, quindi l'intera equazione è (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

La suddivisione in casi dà 3, poi -3, poi ancora 3. Il fattore x - 3 compare due volte, quindi 3 è una radice multipla. Nella risposta si conta una sola volta: le soluzioni sono 3 e -3. Una risposta è un insieme di numeri e un insieme contiene ogni numero una sola volta, indipendentemente da quanti fattori vi rimandino. In un grafico, una radice ripetuta un numero pari di volte, come 3 in questo caso, è il punto in cui la curva tocca l’asse x e torna indietro. Una radice ripetuta un numero dispari di volte attraversa l’asse: (x - 1)^3 lo attraversa in 1.