Między pierwiastkami

Aby rozwiązać x^2 - 4x - 5 < 0, najpierw rozłóż wyrażenie na czynniki: (x - 5)(x + 1) < 0. Teraz chodzi o znaki. Iloczyn dwóch liczb jest ujemny dokładnie wtedy, gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny, więc mamy dwa przypadki dotyczące znaków.

Przypadek pierwszy: x - 5 > 0 i x + 1 < 0, czyli x jest jednocześnie większe od 5 i mniejsze od -1. Żadna liczba nie spełnia obu tych warunków, więc ten przypadek jest pusty. Przypadek drugi: x - 5 < 0 i x + 1 > 0, czyli x jest mniejsze od 5 i większe od -1. Warunek ten spełnia każda liczba między pierwiastkami; zapisujemy to jako jeden łańcuch nierówności: -1 < x < 5.

Odpowiedzią jest cały odcinek osi liczbowej, a nie lista liczb. Sprawdźmy jedną liczbę z tego przedziału: dla x = 0 czynniki wynoszą -5 i 1, a ich iloczyn jest ujemny, zgodnie z poleceniem. Same pierwiastki nie należą do rozwiązania, ponieważ iloczyn wynosi tam 0, a nie mniej niż 0.