Między pierwiastkami

Aby rozwiązać ${x}^{2}-4x-5 < 0$, najpierw rozłóż wyrażenie na czynniki: $\left(x-5\right)\left(x+1\right) < 0$. Teraz chodzi o znaki. Iloczyn dwóch liczb jest ujemny dokładnie wtedy, gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny, więc mamy dwa przypadki dotyczące znaków.

Przypadek pierwszy: $x-5 > 0$ i $x+1 < 0$, czyli x jest jednocześnie większe od 5 i mniejsze od -1. Żadna liczba nie spełnia obu tych warunków, więc ten przypadek jest pusty. Przypadek drugi: $x-5 < 0$ i $x+1 > 0$, czyli x jest mniejsze od 5 i większe od -1. Warunek ten spełnia każda liczba między pierwiastkami; zapisujemy to jako jeden łańcuch nierówności: $-1 < x < 5$.

Odpowiedzią jest cały odcinek osi liczbowej, a nie lista liczb. Sprawdźmy jedną liczbę z tego przedziału: dla x = 0 czynniki wynoszą -5 i 1, a ich iloczyn jest ujemny, zgodnie z poleceniem. Same pierwiastki nie należą do rozwiązania, ponieważ iloczyn wynosi tam 0, a nie mniej niż 0.