Znaki ułamka

Ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy jego licznik i mianownik mają przeciwne znaki: dodatni przez ujemny albo ujemny przez dodatni. Rozważmy $\frac{x-2}{x+5} < 0$. Nie możesz pomnożyć obu stron przez $x+5$ tak jak przez liczbę, ponieważ nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca nierówność.

Zamiast tego rozpatrz przypadki zależne od znaków. Albo $x-2 > 0$ i $x+5 < 0$, albo $x-2 < 0$ i $x+5 > 0$. W pierwszym przypadku x musiałoby być jednocześnie większe od 2 i mniejsze od -5. Żadna liczba nie spełnia obu warunków, więc ten przypadek jest pusty. W drugim przypadku x jest mniejsze od 2 i większe od -5, czyli $-5 < x < 2$.

Sprawdźmy to na liczbach. Dla x = 0 otrzymujemy -2 przez 5, czyli liczbę ujemną, więc należy do rozwiązania. Dla x = 3 otrzymujemy 1 przez 8, czyli liczbę dodatnią, więc nie należy do rozwiązania. Odpowiedź znajduje się między -5 a 2 — tymi dwiema liczbami, dla których licznik lub mianownik wynosi 0.