Czwarte potęgi

x^4 - 17x^2 + 16 = 0 wygląda jak trudne równanie czwartego stopnia, ale zawiera tylko x^4 i x^2, a x^4 to (x^2)^2. Potraktuj x^2 jako jedną niewiadomą, a otrzymasz równanie kwadratowe: ta niewiadoma podniesiona do kwadratu, minus 17 razy ona, plus 16. Dwie liczby, których iloczyn wynosi 16, a suma -17, to -1 i -16, więc równanie rozkłada się na czynniki: (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.

Każdy nawias to różnica kwadratów, więc lewa strona rozkłada się na cztery czynniki: (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). Rozpatrz poszczególne przypadki, a otrzymasz cztery odpowiedzi: 1, -1, 4 i -4. Równanie czwartego stopnia ma co najwyżej cztery rozwiązania, a to równanie ma je wszystkie.

Nie każdy nawias daje rzeczywiste rozwiązania. x^4 - 21x^2 - 100 = 0 rozkłada się na czynniki (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0, a równanie x^2 = -4 nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny. Jedyne rozwiązania rzeczywiste to 5 i -5.