Czwarte potęgi

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ wygląda jak trudne równanie czwartego stopnia, ale zawiera tylko ${x}^{4}$ i ${x}^{2}$, a ${x}^{4}$ to ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Potraktuj ${x}^{2}$ jako jedną niewiadomą, a otrzymasz równanie kwadratowe: ta niewiadoma podniesiona do kwadratu, minus 17 razy ona, plus 16. Dwie liczby, których iloczyn wynosi 16, a suma -17, to -1 i -16, więc równanie rozkłada się na czynniki: $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Każdy nawias to różnica kwadratów, więc lewa strona rozkłada się na cztery czynniki: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Rozpatrz poszczególne przypadki, a otrzymasz cztery odpowiedzi: 1, -1, 4 i -4. Równanie czwartego stopnia ma co najwyżej cztery rozwiązania, a to równanie ma je wszystkie.

Nie każdy nawias daje rzeczywiste rozwiązania. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ rozkłada się na czynniki $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, a równanie ${x}^{2} = -4$ nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny. Jedyne rozwiązania rzeczywiste to 5 i -5.