Grupowanie do końca

Czasami po ponownym grupowaniu czynników pozostaje nawias. Rozważmy ${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18$. Pierwsza para to ${x}^{2}\left(x+2\right)$. W przypadku drugiej pary wyłącz -9, a nie 9: $-9x-18$ to $-9\left(x+2\right)$. Wyłączenie minusa sprawia, że nawiasy są takie same.

Teraz wyłącz wspólny czynnik: $\left(x+2\right)\left({x}^{2}-9\right)$. Ale ${x}^{2}-9$ to różnica kwadratów, więc to wyrażenie również można rozłożyć na czynniki:

$${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18 = \left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$

Rozkład na czynniki jest zakończony dopiero wtedy, gdy żadnego nawiasu nie można już rozłożyć na czynniki. Każdy czynnik wyznacza pierwiastek, więc ten wielomian sześcienny przyjmuje wartość zero dla -2, -3 i 3.