Rozwiązywanie przez grupowanie

Gdy równanie sześcienne ma cztery wyrazy i żaden czynnik nie jest wspólny dla wszystkich, spróbuj grupowania. Weź ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. Pierwsze dwa wyrazy mają wspólny czynnik ${x}^{2}$, a dwa ostatnie mają wspólny czynnik -9, więc lewa strona to ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Teraz x - 3 jest wspólnym czynnikiem: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. Nawias ${x}^{2}-9$ przedstawia różnicę kwadratów, więc całe równanie ma postać $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

Rozkładając na przypadki, otrzymujemy 3, potem -3, a następnie znowu 3. Czynnik x - 3 pojawia się dwa razy, więc 3 jest pierwiastkiem wielokrotnym. W odpowiedzi liczy się raz: rozwiązaniami są 3 i -3. Odpowiedź jest zbiorem liczb, a w zbiorze każda liczba występuje tylko raz, niezależnie od tego, ile czynników do niej prowadzi. Na wykresie pierwiastek o parzystej krotności, taki jak tutaj 3, to punkt, w którym krzywa dotyka osi x i zawraca. Pierwiastek o nieparzystej krotności przecina oś: ${\left(x-1\right)}^{3}$ przecina ją w punkcie 1.