Rozwiązywanie przez grupowanie

Gdy równanie sześcienne ma cztery wyrazy i żaden czynnik nie jest wspólny dla wszystkich, spróbuj grupowania. Weź x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. Pierwsze dwa wyrazy mają wspólny czynnik x^2, a dwa ostatnie mają wspólny czynnik -9, więc lewa strona to x^2(x - 3) - 9(x - 3). Teraz x - 3 jest wspólnym czynnikiem: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. Nawias x^2 - 9 przedstawia różnicę kwadratów, więc całe równanie ma postać (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

Rozkładając na przypadki, otrzymujemy 3, potem -3, a następnie znowu 3. Czynnik x - 3 pojawia się dwa razy, więc 3 jest pierwiastkiem wielokrotnym. W odpowiedzi liczy się raz: rozwiązaniami są 3 i -3. Odpowiedź jest zbiorem liczb, a w zbiorze każda liczba występuje tylko raz, niezależnie od tego, ile czynników do niej prowadzi. Na wykresie pierwiastek o parzystej krotności, taki jak tutaj 3, to punkt, w którym krzywa dotyka osi x i zawraca. Pierwiastek o nieparzystej krotności przecina oś: (x - 1)^3 przecina ją w punkcie 1.