Uma resposta falsa

Resolva $\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$. Junte o lado esquerdo em $\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$, iguale os argumentos e você chegará a ${x}^{2}+4x-5 = 0$, que se fatora como $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$. Os candidatos são 1 e -5.

Teste -5 na equação resultante e parece estar tudo certo: $x\left(x+4\right)$ é -5 vezes -1, que é 5. Teste-o na equação original e ele falha imediatamente, pois $\ln\left(-5\right)$ não tem valor. Portanto, -5 é uma resposta falsa, também chamada de solução extrânea, e somente x = 1 permanece.

De onde veio isso? A expressão original exige que cada entrada seja positiva: x e $x+4$ devem ser maiores que 0. O logaritmo combinado só exige que o produto deles seja positivo, e dois números negativos também resultam em um positivo. Ao combinar os logaritmos, a regra ficou menos restritiva, então a equação quadrática admitiu uma resposta que a expressão original nunca permitia. É por isso que a verificação sempre volta à equação original, nunca a uma linha que você criou.