A Regra da Potência

Considere $\log_{2}\left(8^{2}\right)$. Como $8 = {2}^{3}$, a potência é ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$, que é ${2}^{6}$: uma potência de uma potência multiplica os expoentes. Portanto, o logaritmo é 6, que é 2 vezes 3, o expoente vezes o logaritmo de 8. Essa é a regra da potência:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Isso vale para M positivo, e o expoente desce para a frente do logaritmo. O motivo: se M é b elevado à potência p, então M elevado à potência k é b elevado à potência kp. Você também pode ver isso como a regra do produto repetida: $\log_{b}\left(M^{3}\right)$ é o logaritmo de M vezes M vezes M, ou seja, três logaritmos de M somados.

Com uma letra, preste atenção ao sinal. Para x > 0, $\log_{3}\left(x^{4}\right)$ se transforma em $4\log_{3}\left(x\right)$. Em x = -1, o lado esquerdo é $\log_{3}\left(1\right)$, que é 0, mas $\log_{3}\left(-1\right)$ não tem valor, então a regra exige que x seja positivo. A regra funciona em qualquer base, inclusive na base 10.