Somas infinitas

Corte um bolo ao meio, depois corte o restante ao meio e continue assim. Os pedaços correspondem a 1/2, 1/4, 1/8, ... do bolo, e nunca podem somar mais do que o bolo inteiro. Uma soma que continua para sempre pode ter um resultado finito.

Observe a fórmula da soma $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. Quando r está entre -1 e 1, ${r}^{n}$ diminui em direção a 0 à medida que n cresce: ${\frac{1}{2}}^{10}$ já é menor que um milésimo. Portanto, para uma soma que nunca termina, o ${r}^{n}$ desaparece e

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

Para $10+5+\frac{5}{2}+...$, a razão é 1/2, então $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$, que é 20. Se r for 1 ou mais, ou -1 ou menos, os termos nunca diminuem, e a soma não tem valor finito.