Somas infinitas

Parte da seção Exponenciais, Logaritmos e Sequências do Journey de Algebra 2 da Coddy. Lição 43 de 49.

Corte um bolo ao meio, depois corte o restante ao meio e continue assim. Os pedaços correspondem a 1/2, 1/4, 1/8, ... do bolo, e nunca podem somar mais do que o bolo inteiro. Uma soma que continua para sempre pode ter um resultado finito.

Observe a fórmula da soma S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). Quando r está entre -1 e 1, r^n diminui em direção a 0 à medida que n cresce: (1/2)^10 já é menor que um milésimo. Portanto, para uma soma que nunca termina, o r^n desaparece e

S = a(1)/(1 - r)

Para 10 + 5 + 5/2 + ..., a razão é 1/2, então S = 10/(1 - 1/2), que é 20. Se r for 1 ou mais, ou -1 ou menos, os termos nunca diminuem, e a soma não tem valor finito.

Desafio

Encontre a soma S da sequência geométrica 12 + 4 + 4/3 + ... que continua para sempre. No quadro em branco, escreva uma linha S = ... com a fórmula preenchida e, em seguida, uma linha com o valor.