Somas geométricas

Parte da seção Exponenciais, Logaritmos e Sequências do Journey de Algebra 2 da Coddy. Lição 42 de 49.

Some 1 + 4 + 16 + 64 usando um truque. Chame a soma de S e, em seguida, multiplique cada termo pela razão 4: 4S = 4 + 16 + 64 + 256. As duas listas têm 4, 16 e 64 em comum, então subtrair S de 4S os elimina: 4S - S = 256 - 1. Isso resulta em 3S = 255, então S é 85.

A mesma subtração funciona para qualquer sequência geométrica e fornece a soma de seus primeiros n termos:

S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)

Aqui, n conta os termos, então a potência é r^n, não r^(n - 1). Confira: 1 × (1 - 4^4)/(1 - 4) é -255 dividido por -3, o que resulta em 85. A fórmula só deixa de funcionar quando r é 1, caso em que seu denominador é 0; então, todos os termos são iguais, e a soma é n vezes o primeiro termo.

Desafio

Uma sequência geométrica começa com 5, 15, 45, ... Encontre a soma S de seus 4 primeiros termos. No quadro em branco, escreva uma linha S = ... com a fórmula preenchida e, em seguida, uma linha com o valor.