Somas geométricas

Some $1+4+16+64$ usando um truque. Chame a soma de S e, em seguida, multiplique cada termo pela razão 4: $4S = 4+16+64+256$. As duas listas têm 4, 16 e 64 em comum, então subtrair S de 4S os elimina: $4S-S = 256-1$. Isso resulta em $3S = 255$, então S é 85.

A mesma subtração funciona para qualquer sequência geométrica e fornece a soma de seus primeiros n termos:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

Aqui, n conta os termos, então a potência é ${r}^{n}$, não ${r}^{n-1}$. Confira: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ é -255 dividido por -3, o que resulta em 85. A fórmula só deixa de funcionar quando r é 1, caso em que seu denominador é 0; então, todos os termos são iguais, e a soma é n vezes o primeiro termo.