A Regra do Produto

Considere $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Como $9 = {3}^{2}$ e $27 = {3}^{3}$, o produto é ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, que é ${3}^{5}$: os expoentes se somam quando multiplicamos potências. Então, o logaritmo é 5, que é 2 mais 3, o logaritmo de 9 mais o logaritmo de 27. Essa é a regra do produto:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Isso vale para quaisquer M e N positivos, pelo mesmo motivo. Logaritmos são expoentes: se M é b elevado a p e N é b elevado a q, então MN é b elevado a $p+q$. Portanto, o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

A regra é mais útil quando um dos fatores é uma letra. Para x positivo, $\log_{3}\left(9x\right)$ se transforma em $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, e $\log_{3}\left(9\right)$ é 2, então o resultado é $2+\log_{3}\left(x\right)$.