Potências de i

Multiplique i por ele mesmo repetidamente. ${i}^{1} = i$ e ${i}^{2} = -1$. Então ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$, e ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, que é -1 vezes -1, portanto 1. Mais um fator reinicia o ciclo: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. As potências percorrem quatro valores em ciclo para sempre: i, -1, -i, 1.

Então, para uma potência grande, divida o expoente por 4 e fique com o resto. Para ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$, portanto ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, que é 1 vezes -i, ou -i. Um resto de 1 resulta em i, 2 resulta em -1, 3 resulta em -i, e 0 resulta em 1.

Por que 4? Porque ${i}^{4} = 1$, e multiplicar por 1 não muda nada, então cada grupo de quatro i's desaparece. É por isso que ${i}^{40} = 1$: 40 é 4 vezes 10, e não sobra nenhum i.