Quadrados iguais a números negativos

Em Álgebra, ${x}^{2} = -9$ não tinha solução, porque nenhum número real elevado ao quadrado resulta em -9. Com i, há duas. Comece com ${x}^{2}+9 = 0$: passe o 9 para o outro lado para obter ${x}^{2} = -9$, depois tire a raiz quadrada dos dois lados: $x = 3i$ ou $x = -3i$.

Por que duas? Tanto ${\left(3i\right)}^{2}$ quanto ${\left(-3i\right)}^{2}$ são iguais a $9{i}^{2}$, que é -9, assim como tanto 3 quanto -3 elevados ao quadrado resultam em 9. A raiz quadrada dos dois lados sempre vem acompanhada do ±.

As duas soluções são conjugadas uma da outra, e isso não é por acaso: quando uma equação quadrática com a, b e c reais tem uma solução com i, a conjugada é a outra solução.