1 + tan²x = sec²x

Divida cada termo de ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ por ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Então, $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ é ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ é 1, e $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ é ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Isso resulta em uma segunda identidade.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Isso é verdadeiro sempre que cos x não é 0. Subtraia 1 dos dois lados: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Portanto, $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ é $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, que é tan x.