tan(A + B) e tan(A - B)

Divida sin(A + B) por cos(A + B) e, em seguida, divida o numerador e o denominador por cos A cos B; assim, as fórmulas da tangente ficam expressas apenas em tangentes:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

É necessário que tan A e tan B existam (nenhum dos ângulos é igual a 90° mais um número inteiro de meias-voltas) e que o denominador não seja 0. No numerador, o sinal acompanha o ângulo; no denominador, é o oposto. Para 75° como 45° + 30°, com tan 45° = 1 e tan(30°) = √(3)/3:

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

Para eliminar uma raiz no denominador, multiplique o numerador e o denominador pelo seu conjugado, aqui 3 + √3: o denominador se torna 9 - 3 = 6, o numerador (3 + √(3))² = 12 + 6√(3), e tan(75°) = 2 + √(3).