tan(A + B) e tan(A - B)

Divida sin(A + B) por cos(A + B) e, em seguida, divida o numerador e o denominador por cos A cos B; assim, as fórmulas da tangente ficam expressas apenas em tangentes:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

É necessário que tan A e tan B existam (nenhum dos ângulos é igual a 90° mais um número inteiro de meias-voltas) e que o denominador não seja 0. No numerador, o sinal acompanha o ângulo; no denominador, é o oposto. Para 75° como 45° + 30°, com tan 45° = 1 e $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Para eliminar uma raiz no denominador, multiplique o numerador e o denominador pelo seu conjugado, aqui 3 + √3: o denominador se torna 9 - 3 = 6, o numerador ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, e $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.